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“互为反函数的函数图象间的关系”教学案例

康达范文论文网 http://www.sales365.cn 2019-10-08 18:17 出处:网络 编辑:
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一、教学过程


1.复习。


反。函数的概念、反函数求法、互为反函数的函数定义域值域的关系。


求出函数。y=x3的反函数。


2.新课。


先让学生用几何画板画出y=x3的图象,学生纷纷动手,很快画出。了函数的图象。有部分学生发出了“。咦”的一声,因为。他们得到了如下的图象(图1):



教师在画。出上述图象的学生中选定生1,将他的屏幕内容通过教学。系统放到其他同学的屏幕上,很快有学生作出反应。


生2:这是y=x3的反函数y=的图象。


师:对,但是怎么会得到这个图象,请大家讨论。


(学生展开讨论,但找不出原因。)


师:我们请生1再给大家演示一下,大家帮他找找原因。


(生1将他的制作过。程重新。重复了一次。)


生3:问题出在他选择的次序不对。


师:哪个次序?


生3:作点B。前,选择xA和xA3为B的坐标时,他先选择xA3,后选择xA,作出来的点的坐标为(xA3,xA),而不是(xA,xA3)。


师:是这样吗?我们请生1再做一次。


(这次生1在做的过程中,按xA、xA3的次序选择,果然得到函数y=x3的图象。)


师:看来问题确实是出在这个地方,那么请同学再想想,为。什么他采用了错误的次序后,恰好得到了y=x3的反函数y=的图象呢?


(学生再次陷入思考,一会儿有学生举手。)


师:我们请生4来告诉大家。


生4:因为他。这样做,正好是将y=x3上的点B(x,y)的横坐标x与纵坐标y交换,而y=x3的反函数也正好是将x与y交换。


师:完全正确。下面我们进一步研究y=x3的图象及其反函数y=的图象的关系,同学们能不能看出这两个函数的图象有什么样的关系?


(多数学生回答可由y=x3的图象得到y=的图象,于是教师进一步追问。)


师:怎么由y=x3的图象得到y=的图象?


生5:将y=x3的图象上点的横坐标与纵坐标交换,可得到y=的图象。


师:将横坐。标与纵坐标互换?怎么换?


(学生一时未能明白教师的意思,场面一下子冷了下来,教师不得不将问题进一步明。确。)


师:我其实是想问大家这两个函数的图象有没有对称关系,有的话,是什么样的对称关系?


(学生重新开始观察这两个函数的图象,一会儿有学生举手。)


生6:我发现这两个图象。应是关于某条直线对称。


师:能说。说是关于哪条直线对称吗?


生6:我还没找出来。


(接下来,教师引导学生。利用几何画板找出两函数图象的对称轴,画出如下图形,如图2所示:)



学生通过移动点A(点B、C随之移动)后发现,BC的中点M在同一条。直线上,这条直线就是两函数图象的对称轴,在追踪M点后,发现中点的轨迹是直线y=x。


生7:y=。x3的图象及其反函数y=的图象关于直线y=x对称。


师:这个结论有。一般性吗?其他函数及其反函数的图象,也有这种对称关系吗?请同学们用其他函数来试一试。


(学。生。纷纷画出其他函数与其反函数的图象进行验证,最后大家一致得出结论:函数及其反函数的图象关于直。线y=x对称。)


还是有部分学。生举手,因为他们画出了。如下图象(图3):



教师巡视全班时已经发现这个问题,将这个图象传给全班学生后,几乎所有人都看出了问题所在:图中函数y=x2(x∈R)没有反函数,②也不是函数的图象。


最后教师与学生一起总结:


点(x,y)与点(y,x)关于直线y=x对称;


函数及其反函数的图象关于直线y=x对称。


二、反思与点评


1.在开学初,我就教学几何画板4.0的用法,在。教函数图象画法的过程中,发现学生根。据选定坐标作点。时,不太注意选择横坐标与纵坐标的顺序,本课设计起源于此。虽然几何画板4.04中,能直接根。据函数解析式画出图象,但这样反而不能揭示图象对称的。本质,所。以本节课教学中,我有意选。择了几何画板4.。0进行教学。


2.荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为,数学学习过程中,可借助于生动直观的形象来引导人们的思想过程,但常常由于图形或想象的错误,使人们的思维误入歧途,因此。我们既要借。助直观,但又必须在一定。条件下摆脱直观而形成抽象概念,要注。意过于直观的例子常常会影响学生正确理解比较抽象的概念。


计算机作为一种现代信息技术工具,在直观化方面有很强的表现能力,如在函数的图象、图形。变换等方面,利用计算机都可得到其他直观工具不可。能有的效果;如果只是为了直观而使用计算机,但不。能达到更好地理解抽象概念,促进学生思维的目的的话,这样的教学中,计算。机最多只是一种普通的直观工具而已。


在。本节课的教学中,计算机更多的是作为学生探索发现的工具,学生不但发现了函数与。其反函数图象间的对称关系,而且在更深层次上理解了反函数的概念,对反函数的存在性、反函数的求法等方面也有了更深刻的理解。


当前计算机用于中学数学。的主要形式。还是以辅助为主,更多的是把计算机作为一种直观工具,有时甚至只是作为电子黑板使用,今后的发展方向应是:将计算机作为学生的认知工具,让学生通过计算机发现探索,甚至利用计算机来做数学,在此过程中更好地理解数学概念,促进数学思维,发展数学创新能力。


3.在引出两个函数图象对称关系的时候,问题设计不甚妥当,本。来是想要。学生回答两个函数图象对称的关系,但学生误以为是问如何由y=x3的图象得到y=的图象,以致将学生引入歧途。这样的问题在今后的教学中是必须力求避免的。




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